Der Satz des Pythagoras

Kommen wir nun zu dem wohl bekanntesten Lehrsatz der Mathematik, dem Satz des Pythagoras . Ich stelle ihn hier mal in zwei Formen vor, der sprachlichen Formulierung und der Formel:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat Kc der Hypotenuse c gleich der Summe der Kathetenquadrate Ka und Kb der Katheten a und b. Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks und liegt gegenüber dem rechten Winkel:

Und hier die Formel:

a² + b² = c²

Es gibt auch den erweiterten Satz des Pythagoras - den Kosinussatz- er gilt in allen Dreiecken:

a² + b² - 2*cos ?*a*b = c²

Nun führe ich hier einen von über 400 existierenden verschiedenen Beweistechniken für den Satz des Pythagoras an:

Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b:

Unter der Hypotenuse konstruieren wir die Fläche c²:

Um c² herum konstruieren wir weitere drei zum ersten Dreieck kongruente Dreiecke:

Wir haben nun eine Fläche, die wir zweierlei bezeichnen können:

Fq = (a + b)²

Fq = c² + 4 * ½ * a * b

Der erste Ausdruck gilt, da die Summe der Längen zum Quadrat die Fläche des Quadrates bezeichnet. Wir können aber ebenfalls die einzelnen Flächen addieren, also die Fläche des Quadrates und die Flächen der vier Dreiecke, für das für ein Dreieck gilt: ½ * Grundseite (b) * Höhe (a).

Wir dürfen also die beiden Ausdrücke gleichsetzen und vereinfachen:

(a + b)² = c² + 4 * ½ * a * b

nach der Binomischen-Formel:

a² + 2*a*b + b² = c² + 2*a*b

Auf beiden Seiten 2*a*b subtrahieren:

a² + b² = c²

Es gibt natürlich noch unzählige andere Beweismethoden, so zum Beispiel mit Kreisen usw. Aber ich finde, dieser hier ist plausibel und leicht zu verstehen. Um unsere eventuell neuen Erkenntnisse im Bereich der Mathematik noch zu vertiefen, kommen wir zu einem ganz gewöhnlichen Beispiel der Benutzung des Satzes im Alltag.